流體流動、傳熱和傳質   傳熱：能量守恒 

能量方程

熱力學第一定律將內能定義表述為：封閉系統的內能變化 ΔU 等于系統吸收的熱量 減去系統所做的功 ：

⁽¹⁾

如果系統可以運動，則方程（1）可以擴展為包含系統動能 ：

⁽²⁾

在分析體積無限小的流體時，我們可以改寫方程（2），得到總內能守恒方程（參考資料 1）：

⁽³⁾

在上式中：

• 是密度
• 是單位質量內能
• 是速度矢量
• 是速度大小的平方
• 是傳導熱通量矢量
• 是總應力張量
• 是單位質量的體力，如體積力

總應力張量通常寫為：

⁽⁴⁾

其中， 表示壓力， 表示黏性應力張量。

方程（3）右側第二項表示表面力所做的功，在使用 定義后，該項可以寫為

⁽⁵⁾

該方程右側第一項通常稱為壓力功，第二項稱為黏性功。這兩項可以通過以下方式進一步分解：

⁽⁶⁾
方程（6）的第一行表示可逆效應，可以描述使內能增加的功以及內能做功的過程。第二行描述不可逆效應，即：功如何通過黏性耗散使內能增加，以及黏性效應如何使動能減少。

方程（3）包含動能守恒方程。通過將速度 與動量方程進行點積，可以推導出該方程。執行代數運算后，可以得到：

⁽⁷⁾

從上式可以看出，總能量方程（3）中體力做的所有功都會改變動能。方程（7）右側其余的項包含方程（6）中描述的影響動能的表面力做功部分。從方程（3）中減去方程（7），可以得到內能方程：

⁽⁸⁾

如果存在由反應或與輻射相互作用等產生的內熱源，則需要添加一個附加的內熱源項 ，此時的內能方程變為：

⁽⁹⁾

焓方程

內能是一個熱力學狀態變量，很少用于實際應用。較為常用的物理量是焓 ，它通過下式與內能關聯：

⁽¹⁰⁾

將方程（10）代入方程（9），經過重新整理，可以得到焓方程（參考資料 2）：

⁽¹¹⁾

方程（11）為守恒形式，這種方式是通過在編寫方程左側時，將密度和速度包含在散度運算符中來實現的。使用連續性方程可以推導出焓方程的非守恒形式。方程（11）左側可以展開為以下形式：

⁽¹²⁾

方程（12）右側的第一項是連續性方程乘以焓，因此恒等于零。方程（11）由此可以寫為：

⁽¹³⁾

即使方程（13）為非守恒形式，但仍可以描述焓守恒。

溫度方程

相信所有工程師都熟悉溫度概念，因此用溫度描述能量守恒非常方便。焓與溫度 和壓力的關系通過以下微分關系來表征：

⁽¹⁴⁾

其中， 為恒壓熱容，β 為體積膨脹系數。

方程（14）可用于替換方程（13）中的 。再次調用連續性方程，可以得到溫度方程：

⁽¹⁵⁾

最后一步是使用傅里葉導熱定律 （ 為導熱系數）來定義傳導熱通量矢量 。據此可以得到溫度方程：

⁽¹⁶⁾

觀察上式可以發現，只有在恢復焓或內能的情況下，才能改寫守恒形式的溫度方程。

溫度方程是另一種表征能量守恒的方式，在數學上等效于方程（3）。然而，在使用數值方法實現方程時，不同的守恒方程并不等效。許多商業軟件都基于有限體積法，并求解守恒形式的總焓輸運方程。通過這種方式，這些商業軟件可以實現總能量守恒。但總焓方程容易產生數值振蕩，從而降低數值精度。因此，求解溫度方程相對要穩定、精確得多。有限元法支持求解溫度方程，同時還能實現總能量守恒（參考資料 3）。

能量守恒的特殊情況

對于理想氣體， 項等于一，此時方程（16）變為：

⁽¹⁷⁾

如果流體不可壓縮，則壓力功項為零，方程（16）可以簡化為：

⁽¹⁸⁾

對于大多數工程應用而言，如果系統沒有經歷明顯的壓力變化，或者馬赫數遠小于一，則壓力功項也可以忽略不計。

在一些特殊情況下，剪切速率非常高，此時的黏性加熱就顯得非常重要。軸承系統和液壓系統便是兩個典型的工程例子。然而，在大多數其他情況下，黏性加熱可以忽略不計，方程（18）可進一步簡化為：

⁽¹⁹⁾

發布日期：2018 年 6 月 29 日
上次修改日期：2018 年 6 月 29 日