最近在 Youtube 上，Stand-up Maths 頻道發布了一段討論跳環問題的視頻。雖然這個問題看起來很簡單，但其中涉及的物理學和數學在過去半個世紀中曾引起了許多研究人員的興趣。在這篇博客中，我們將介紹一些可以幫助解跳環物理原理的模型。
問題
這個問題最初的描述是：一個理想的、無質量的剛性的環，在其周長上附加一個單點質量。如果環沿水平面滾動，這個點質量是否有可能脫離該平面并跳到空中？運動開始時，環處于不穩定的平衡位置，點質量位于最高點。
本文我們來看一個與視頻中討論的環類似的環，稍微做了一些修改。例如，這個環不再是無質量的，而是有一個均勻分布的質量。該系統的總質量是 m，其中 \gamma m 是分配給點質量的部分，剩下的總質量 (1-\gamma)m 分布在環的周圍。使用特殊情況 \gamma = 1，然后恢復原始配置。確切的物理特性在這里并不重要，但可以作為參考：環的半徑是 R = 1 \ m，總質量是 m = 1 \text{kg}，質量分布參數 \gamma = 3/4。環和平面之間的摩擦系數被設定為 \mu = 1。
在幾何中，有幾個不同的地方可以測量速度。除非有其他說明，速度(v)是指環中心的速度。在純滾動運動中，它與角速度的關系為 v = R \dot \theta。
第一次嘗試
為了更好地熟悉這個問題，我們首先在低速下滾動環。使用多體動力學 接口中的一個剛體來模擬環。使用剛體接觸 功能模擬環和平面之間的連接。
參考配置（零旋轉時）是當點質量位于環的頂部時。如果只給環一個最小的推力（在這種情況下，初始速度為 {v}_{\textsl 0}= 0.1 \ m/s），開始的旋轉將非常緩慢，但隨著點質量垂直位置的下降，旋轉速度增加。一圈旋轉的速度變化很大，當點質量再次到達頂部時，環幾乎達到了靜止狀態。請看下面的動畫。
環的顏色是由速度決定的。黑色軌跡顯示了點質量（擺線）的路徑。綠色軌跡顯示了系統重心的路徑。箭頭與接觸力成正比。
讓我們更詳細地研究一些關鍵特征。首先，繪制速度圖。用角速度乘以環半徑，這樣就可以直接與中心的平移速度進行比較。只要運動是純旋轉，這兩條曲線就會重合。
速度與時間的關系圖。
速度與旋轉角度的關系圖。
點質量的勢能可以被認為是旋轉的驅動力。圓環本身的質量不會改變圓環離地面的高度，除非圓環剛好在跳動，所以如果圓環只是滾動，這部分質量不會對勢能做出貢獻。
系統的勢能和動能。
當繪制角度圖時，能量轉換作為純諧波函數變化。這是點質量的垂直位置的直接結果。
我們將對這個理論做一點稍微的改變，最后有一個有趣的轉折。
系統的勢能只受質點垂直位置的影響，可以寫成：
參考高度的選擇是為了使質點到達其頂部位置時勢能為零。
通過一些包括重心位置和速度的代數轉換，動能可以寫成：
得到兩種能量的表達式后，可以用能量守恒原則來推導角速度與旋轉角度的函數的閉合表達式：
插入動能和勢能的表達式，得到：
因此，角度與角速度的函數關系為：
最大角速度必須發生在 \theta = \pi：
\sqrt{ \frac{2\gamma g R + v_0^2(1+\gamma)}{1-\gamma}}
請注意，當 \gamma 接近 1 時，會發生什么情況（原來只有一個點質量的問題）。最大角速度接近無窮大！這聽起來非常不符合物理學！
問題是，在滾動運動中，環和地板的接觸點總是處于靜止狀態。當所有的質量都在這個點時，動能為零。同時，動能應該等于損失的勢能。這并不相加！另外，正如這個問題的原作者 John Littlewood 在他的 A Mathematicians Miscellany 一書中所說的，當 \theta = 90° 時，應該已經有了跳躍運動。
無論如何，這在現實中不會發生。為了獲得高速度，需要非常大的加速度。因此，對于任何有限的摩擦系數值，遲早都會出現滑動。
最后，讓我們看一下接觸力。
作用在環上的接觸力。
由摩擦引起的水平力，是驅動環加速和減速的原因。要獲得這個動畫所預測的純滾動運動，要求具備兩個條件：
- 垂直接觸力必須始終是正的(F_{\text n} > 0)。如果 F_{\text n}= 0，則環形物與表面失去接觸。
- 水平摩擦力不能超過庫侖摩擦定律所允許的范圍(|F_{\text f}| < μ F \text {n})。如果發生這種情況，就會出現打滑現象。
檢查摩擦力標準的一個簡單方法是繪制 F_{\text f}/ μ F \text{n}。在這種情況下，幅度很大；只有大約 38% 的可用摩擦力被利用。另一種解釋，至少 0.38 的摩擦系數對維持純滾動運動是必要的。
摩擦力利用系數。
提高速度
在第二次嘗試中，我們給了環一個更高的初始速度 (v_ \textsl{0} = 2 \ \text {m/s})。如下圖所示，仍然有一個純滾動運動。但是結果發生了一些有趣的變化，例如：
- 速度更高，但更均勻。
- 最小的接觸力已經下降。原因是，隨著旋轉速度的提高，質點的離心力增加。因此，當位置和速度的組合合適時，就會有一個很大的垂直力，抵消了環的自重。
- 可用的摩擦力被使用的部分更多。這是由于較低的接觸力和較高的反作用力相結合，平衡了慣性力。
運動的動畫(v_ \textsl {0}= 2 \ \text{m/s})。
作用在環上的接觸力(v_ \textsl {0} = 2 \ \text {m/s})。
摩擦力利用系數 (v_ \textsl{0} = 2 \ \text {m/s})。
如果我們把這些點連接起來，很明顯，在某個稍高的初始速度下，環和水平面之間會發生滑移。在接下來的嘗試中，使用 v_ \textsl {0}= 2.8 \ \text{m/s}?，F在我們可以看到，摩擦利用系數趨于 1，這意味著出現了滑動。這從動畫中不太容易確定，但速度圖表明平移速度和角速度不再是相同的。
摩擦力利用系數(v_ \textsl {0} = 2.8 \ \text {m/s})。
速度(v_ \textsl{0} = 2.8 \ \text {m/s})。
可以看出，每個周期的速度峰值都在下降。如果我們繼續模擬，它將以純滾動運動結束（一旦有足夠的能量被耗散）。下面是能量平衡圖?！翱偂蹦芰勘欢x為勢能和動能之和。
能量平衡(v_ \textsl {0}= 2.8 \ \text{m/s})。
跳躍的環！
將初始速度增加到 3.1m/s 后，動畫變得非常有趣！
運動的動畫 (v_ \textsl {0} = 3.1 \ \text {m/s})。
在上面的動畫中，跳環在完成一個完整的旋轉之前就出現了跳躍。正如預測的那樣，這就是在 YouTube 視頻中顯示的相位圖的右上角。在這副圖中，當環在空中時，重心的軌跡被染成紅色。曲線的這一部分形成了一個拋物線運動。
速度圖顯示，當環飛行時，角速度是恒定的。它必須是恒定的，因為沒有施加外部力矩。不太直觀能看出的是，即使沒有力，速度也不是恒定的。為什么呢？
速度(v_ \textsl{0} = 3.1 \ \text {m/s})。
那么，正在繪制的速度是環形中心的速度，而重力中心的速度是恒定的，重力中心實際上圍繞環形中心旋轉。
能量平衡圖給出了進一步的見解。
能量平衡 (v_ \textsl {0}= 3.1 \ \text{m/s})。
請注意，在 350° 和 395° 之間的短時間內，勢能略大于零，導致總能量大于動能。這是由于環的中心向上移動的影響。圖中使用的勢能表達式是基于實際位置，而不是基于上述的表達式 W_p，其中假定了滾動。
在這個模擬中，落地后有一個純滾動運動。然而，這個結果是不可信的。如果你仔細觀察，可以看到在撞擊過程中損失的能量明顯大于同一時刻的摩擦損失。這兩種損失機制都將與接觸條件的數值模型密切相關。我們沒有足夠的數據來說明兩個剛性物體之間的碰撞過程中應該發生什么。
重新審視低摩擦率
在最初的嘗試中，摩擦系數大約低于 \mu = 0.4 時，會導致滑動，即使初始速度很低。為了查看會發生什么，我們用 \mu = 0.3 來嘗試。
運動的動畫(v_{0} = 0.1 \ m/s, \mu = 0.3)。
由于存在滑動，能量被耗散了。系統中沒有足夠的動能來提升質點回到頂部位置。輪子開始向相反方向滾動，然后來回搖晃。從速度和能量圖中可以看出，較低的摩擦力值誘發了幾次滑動。由于運動相對于角度來說不是單調的，我們繪制了這種情況下，數量與時間的關系圖。
速度 (v_{0} = 0.1 \ m/s, \mu = 0.3)。
能量平衡(v_{0} = 0.1 \ m/s, \mu = 0.3)。
結束語
我們可以將上文中的 2D 動畫擴展為 3D，請看下面的運動動畫，其中 v_ \textsl {0} = 3.1 \ \text {m/s}。
在這篇博客中，仿真結果表明，跳環的行為比你剛開始想象的要復雜得多。點擊下面的按鈕下載教程模型，嘗試自己分析跳環運動：
更多資源
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