雙電容悖論問題中的電容和電感存在嗎？

雙電容悖論是一個具有啟發性的思想實驗，旨在揭示電路模擬的一些局限性，并且已有許多不同的方法可以求解這個問題。我將在 COMSOL Multiphysics^® 中添加一個可以用軟件求解的方法，然后對其進行擴展，提出并回答一個具有更大啟發性的問題：電容和電感存在嗎？讓我們來深入探討！

雙電容悖論

這個思想實驗通常描述如下：考慮一個裝置，由兩個電容為 C 的等效電容器組成，二者中間并連了一個打開的開關。所有的導線和電容器都是由理想的、完全無電阻無損耗的材料制成。其中一個電容器的電位為 V_i，因此存儲的電荷為 Q = CV_i。另一個電容器上沒有電位差，因此沒有存儲的電荷。關閉開關后會發生什么？

雙電容器悖論的示意圖。電容器的兩個電極板之間存在電位差。開關閉合時會出現什么情況？

有些人在介紹這個思想實驗時會拋出一個“障眼法”，認為第一個電容器上的電荷會流入第二個電容器，從而使第一個電容器上的電勢差減小，第二個電容器上的電勢差增大，直到達到穩定狀態 —兩個電容器上的電勢差相同，均為 V_i 的一半，因為相同的電荷 Q 分布在兩個等效的電容器上。但是，這將立即導致一個悖論，因為每個電容器中的能量都是 W_C = \frac{1}{2} C \Delta V^2。如果初始能量是 ，最終能量是 2 \frac{1}{2} C\left( V_i/2 \right)^2 = \frac{1}{4} C V_i^2，那么另一半能量去哪里了？

從量子力學到熱力學，有很多求解的方法。從教學的角度來看，這些解可能都是有效的。然而，其中許多都隱含了實際條件，即電線和電容器必須有一定的電阻或電感。但為什么呢？至少在思想實驗中，假設材料完全無損耗，忽略電阻是合理的。那么電感呢？在這個思想實驗中，我們可以忽略電感嗎？讓我們跟隨這個問題，看看它是否能給出一個有趣的答案……

一個關于該悖論的簡單解

我們的設備由兩個理想的無損電容器組成。但即使是理想電容器，也必然使空間上的電荷發生分離。也就是說，電容器必須有一定的尺寸。如果每個電容器都有尺寸，那么它就必須與另一個電容器保持一定的非零距離。因此，如果我們稍微重畫一下上述示意圖，就會發現有兩個電容器和兩個有限直徑的無損耗導線半環，隨時間變化的電流可以沿導線流動。但我們怎么稱呼這樣的結構呢？電感器！

要解決這一悖論，必須認識到，該結構的尺寸必須不為零，電流將繞一個面積有限的環流動，因此它也是一個電感器。

這里繪制的結構必須具有有限的尺寸，只要這個結構存在于在自由空間具有磁導率的宇宙中，那么這個結構也必須具有電感。因此，只要我們的電路中有一個電容器，那么電路中也一定有一個電感器。事實上，情況會變得更好：如果有一個電感器，即使是一個無損耗的電感器，流過它的任何隨時間變化的電流都會在電感器的匝之間產生一個電場，因此我們添加到電路中的任何電感器都會起到電容器的作用！我們可以無限地沿著這個邏輯思路推演下去，但在這里，只需用一個電感 L 來修改電路就足夠了。

現在，我們有了一個LC電路，它的解析解可以立即消除悖論：電流將在電容器之間和有限長度的導線上來回流動，振蕩頻率為：f=1/(2\pi\sqrt{LC})。永遠不會有穩態解，因此永遠無法單獨評估靜電能。我們還必須考慮電荷運動所產生的能量，即電流的流動，I，其值可以由 W_L = \frac{1}{2} L I^2 獲得。電能和磁能的總和 (\frac{1}{2} L I^2 + \frac{1}{2} C V^2) 不會隨時間而改變。

在 COMSOL Multiphysics^® 軟件中進行驗證

使用 COMSOL Multiphysics^® 和 RF 模塊可以直接建立一個模型來驗證這種情況。使用 電磁波、瞬態 接口和 靜電 接口來計算初始條件。我們將模擬一小塊完全真空的區域，其中包含電容器和導線。電容器板、導線和體積周圍的空間都被視為完美導體，即電磁場不會穿透任何邊界。COMSOL 學習中心文章： “電容放電模擬”中提供了建立此類電容放電模型的指南。

對這一時域模型進行求解并對總電能和總磁能進行評估，結果顯示出預期的振蕩行為。還可以將模擬域劃分為不同的區域，以評估兩個電容器周圍區域以及周圍空間的總能量。下圖顯示了能量在空間和時間上的振蕩情況。

動畫顯示了電容器板和導線表面的電流以及兩者之間空間的磁場。

總電能和總磁能會隨著時間的推移而振蕩；在這種無損裝置中，電能和磁能的總和不會發生變化。

不同域中的電能和磁能的總和顯示能量在時間和空間上的振蕩。

由上圖可以觀察到，這些曲線圖在時間上并非純正弦曲線。高頻內容，即隨時間變化的能量波紋來自哪里？它們來自結構。很明顯，兩塊電極板具有明確的電容，但由于導線的存在，電荷也會分離，而且整個結構位于一個具有諧振頻率的圓柱形空腔內。該設備的所有這些不同部分都對電磁行為有一定的影響。每個部分的貢獻可能都很小，但當考慮一個有限大小的結構時，它總是存在的。

電容和電感存在嗎？

現在是時候對這個（或任何其他）電磁裝置提出一個更具挑戰性的問題了：它有電容和電感嗎？我們已經清楚地看到，這個特殊的裝置同時具有電容和電感。但是，如果我們在電容器極板之間添加一種非常強的介電材料，對它進行改裝會怎樣呢？這將使電容大大增加，但電感不變。如果把電容做得更大，是否可以說電感無關緊要呢？

簡單的回答是：不，我們永遠不應該認為一個電動裝置是純電容式或純電感式的。在電動裝置中，電荷的空間分離總會產生電能，電荷的運動總會產生磁能。雖然我們有時可以假設忽略其中一種情況，但始終要記住，這只是在思維上進行了簡化。

此外，所有實際材料都有一定的有限電阻，因此，為了更符合實際，應該把所有東西都說成是有阻抗的，而這就是我們有時會陷入更大麻煩的地方。在處理頻域模型時，電氣設備的阻抗可以用以下我們非常熟悉的表達式來計算：

在這個表達式中，電阻 R 用于衡量移動電荷的動能，即電流如何轉化為熱能的量度。

這個方程一看就知道與單自由度阻尼諧振子有關，而諧振子是工程學和物理學中研究最深入的問題之一。我們知道，從這個表達式中可以計算出振蕩器的諧振頻率和品質因子，并且現實中的設備都具有基本諧振和品質因子。這使我們想把上述兩者等同起來，并試圖將現實世界中有限大小的電氣設備簡化為單一的電阻、電容和電感。這是一個概念上的錯誤，而且永遠不會成立，因為上述阻抗表達式只適用于具有無限小尺寸的設備。

任何實際設備都具有有限尺寸大小。設備在共振時，電能和磁能在空間和時間上都會發生變化，正如我們從上面的圖中看到的那樣。因此，等效電路模型至少需要三個節點，有時甚至需要更多。我們將思路轉回到兩個電容器的物理模型，假設每個電容器的極板都由電路中的一個節點表示，可以看到，等效電路模型至少需要像下圖中的電路一樣復雜，有四個節點。請注意，由于沿導線也存在電荷分離，因此增加了一個與導線電感并聯的小電容。

兩個串聯的有限大小的無損耗電容器的等效電路模型。

希望您能從這個例子中看到，在共振頻率附近構建一個有效的等效電路模型會變得非常復雜，需要對物理場的深入理解、對類似設備的豐富經驗以及數值模擬。

回到最初的問題，可以說電容、電感甚至電阻都不是獨立存在的概念，它們只存在于彼此的組合中。雖然我們有時可以將與頻率有關的設備阻抗簡化為單一的電阻、電容和（或）電感，但這種簡化只在設備的諧振頻率以下有效。牢記這一點可以幫助您避免各種陷阱，無論是這個有趣的雙電容悖論還是更難以求解的復雜現實問題。

結束語

在這篇博客中，我們使用了一個經典的思想實驗來理解為什么在共振頻率附近工作的電磁設備的阻抗不能被分解成單一的等效電阻、電容和電感。像雙電容悖論這樣的思想實驗，對于拓寬我們對電磁學的認識和解釋計算模型的結果非常有價值。

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